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WordPress で発生する内容ではありますが、実際は WordPress の設定などの問題ではなく、PHP の環境問題になります。
解決方法として、よく「cURL（カール）」の有効化を紹介されていますが、非SSL環境でも同様なエラーが発生するので載せておきます。
以前は動作していたので、WordPress のダウンロード先がSSL対応したのかも知れませんね。
○現象
WordPress の本体やプラグインのアップデート処理を実行すると、下記のエラーが表示されてダウンロードが失敗します。
ダウンロードに失敗しました。 要求されたリクエストを完了できる HTTP トランスポートがありません。
○対策（PHPの拡張モジュールが利用可能な場合）
extension=curl.so extension=openssl.so
※念のためcURLもチェックしておきましょう。
環境によってはPHPのコンパイルが必要な場合がありますので、詳しい対応方法は管理者やサポートに確認されることをオススメします。
