[WordPress] Warning: 予期せぬエラーが発生しました。WordPress.org かこのサーバーの設定に何か問題があるかもしれません。問題が続くようであれば、サポートフォーラムを参照してみてください。 (WordPress は WordPress.org との安全な接続を確立できませんでした。サーバー管理者にご連絡ください)

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WordPress 3.9 にアップデートして発生した問題です。

Warning: 予期せぬエラーが発生しました。WordPress.org かこのサーバーの設定に何か問題があるかもしれません。問題が続くようであれば、サポートフォーラムを参照してみてください。 (WordPress は WordPress.org との安全な接続を確立できませんでした。サーバー管理者にご連絡ください)

管理ページの更新やプラグインのページを参照すると上記の警告メッセージが何ヶ所か表示されるようになりました。
皆さんの反応を見てみると、全てのレンタルサーバーで発生するわけではないようです。

問題の発生していた「CORESERVER.JP」のサポートに問い合わせると下記の回答が来ました。
下記はメールの抜粋です。
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弊社で検証を続けました結果、以下のことが判明いたしました。

.htaccess において、「AddHandler application/x-httpd-phpcgi .php」と記述することで、バージョンを指定しない CGIモードで動作させるとワーニングが表示されますが、「AddHandler application/x-httpd-php53cgi .php」あるいは「AddHandler application/x-httpd-php54cgi .php」等と指定しますと、回避されました。

これは弊社のPHP5.2環境（コアサーバーでバージョンを指定しない CGIモードのPHP環境）では Curl に対応していないための可能性が高いと考えられます。
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案内されたとおり、PHPを5.3系に切り替えたところ、問題は解消されました。

同様の問題が発生している方も、もしレンタルサーバー側でPHPのバージョンが切り替えられるタイプの場合は、より高いバージョンに切り替えてみてはいかがでしょうか。